Question

【題目】若方程有實數(shù)根，則稱為函數(shù)的一個不動點.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）當時是否存在不動點？并證明你的結(jié)論；

（2）若，求證有唯一不動點.

Answer 1

【答案】（1）不存在不動點；證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）將問題轉(zhuǎn)化為求方程的根，構造函數(shù)利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最小值，即可容易證明；

（2）根據(jù)不動點的定義，結(jié)合（1）中的思路，即可容易求證.

（1）當時，不存在不動點.

證明：由可得：，

令，，

則，

∵，∴

當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

所以.所以方程無實數(shù)根

故不存在不動點.

（2）當時，，，

則，

再令，∴

當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

∴

故當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

所以.

所以有唯一實數(shù)根，

故有唯一不動點.