Question

（2012•汕頭二模）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1、a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

(n≥2)．
（Ⅰ） 求a₃、a₄，猜想a_n的表達(dá)式，并加以證明；
（Ⅱ） 設(shè)bn=

an•an+1

an + an+1

，求證：對任意的自然數(shù)n∈N^*，都有b1+b2+…+bn＜

n 3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算可得a₃、a₄，由此猜想a_n的表達(dá)式，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，證明n=k+1時(shí)，由題設(shè)與歸納假設(shè)，可得結(jié)論；
（Ⅱ）先對通項(xiàng)化簡，再用裂項(xiàng)法求和，進(jìn)而利用分析法進(jìn)行證明即可．

解答：（Ⅰ） 解：（1）∵a₁=1、a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

(n≥2)，
∴a₃=

a2

2-a2

=

1

7

，a4=

2a3

3-a3

=

1

10

故可以猜想an=

1

3n-2

，下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
（i） 顯然當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，結(jié)論成立，
（ii） 假設(shè)當(dāng)n=k（k≥4），結(jié)論也成立，即ak=

1

3k-2

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：ak+1=

(k-1)ak

k-ak

=

(k-1)× 1 3k-2

k- 1 3k-2

=

1

3(k+1)-2

即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，
綜上，an=

1

3n-2

成立．
（Ⅱ）證明：bn=

an•an+1

an + an+1

=

1

3

(

3n+1

-

3n-2

)
所以b₁+b₂+…+b_n=

1

3

[(

4

-1)+(

7

-

4

)+…+(

3n+1

-

3n-2

)]=

1

3

(

3n+1

-1)
所以只需要證明

1

3

(

3n+1

-1)＜

n 3

只需證明

3n+1

＜

3n

+1
只需證明：3n+1＜3n+2

3n

+1
只需證明0＜2

3n

，顯然成立
所以對任意的自然數(shù)n∈N^*，都有b1+b2+…+bn＜

n 3

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項(xiàng)的猜想與證明，考查數(shù)列的求和與分析法證明的運(yùn)用，屬于中檔題．