Question

5．已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|（x-a）•（x-3a）＜0}．
（1）若a=-1，求A∩（∁_RB）；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡集合A，求出a=-1時的集合B以及∁_RB，再計算A∩（∁_RB）；
（2）討論a的值，求出B對應的集合，從而得出滿足A∩B=∅時a的取值范圍．

解答 解：（1）∵集合A={x|x²-6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，
a=-1時，B={x|（x+1）•（x+3）＜0}={x|-3＜x＜-1}，
∴∁_RB={x|x≤-3或x≥-1}，
∴A∩（∁_RB）={x|2＜x＜4}；
（2）當A∩B=∅時，
若a＞0，則B={x|a＜x＜3a}，須a≥4或3a≤2，
解得0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥4；
若a＜0時，B={x|3a＜x＜a}，須a≤2或a≥$\frac{4}{3}$；
解得a＜0時成立，驗證當a=0時也成立；
綜上，a≤$\frac{2}{3}$或a≥4時，A∩B=∅．

點評 本題考查了轉化思想的應用，不等式組的解法，分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．