Question

4．已知tanθ+cotθ=2，求：
（1）sinθ•cosθ；
（2）sinθ+cosθ；
（3）sin³θ+cos³θ的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得 sinθcosθ 的值．
（2）分類討論，根據(jù)sinθ+cosθ=±$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$，計(jì)算求的結(jié)果．
（3）由條件利用立方差公式以及（1）、（2）的結(jié)論，計(jì)算求的結(jié)果．

解答 解：（1）由于tanθ+cotθ=2=$\frac{sinθ}{cosθ}$+$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{sinθcosθ}$，∴sinθcosθ=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得sinθ、cosθ同號(hào)，故角θ是第一或第三象限角，
當(dāng)θ是第一象限角，sinθ+cosθ=$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$=$\sqrt{1+2sinθcosθ}$=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$；
當(dāng)θ是第三象限角sinθ+cosθ=-$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$=-$\sqrt{1+2sinθcosθ}$=-$\sqrt{1+1}$=-$\sqrt{2}$．
（3）當(dāng)θ是第一象限角時(shí)，sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（1-sinθcosθ）=$\sqrt{2}$（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)θ是第三象限角時(shí)，sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（1-sinθcosθ）=$\sqrt{2}$（1-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．