Question

16．2016年里約奧運會在巴西里約舉行，為了接待來自國內外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不僅要有一定的氣質，還需有豐富的人文、地理、歷史等文化知識．志愿者的選拔分面試和知識問答兩場，先是面試，面試通過后每人積60分，然后進入知識問答．知識問答有A，B，C，D四個題目，答題者必須按A，B，C，D順序依次進行，答對A，B，C，D四題分別得20分、20分、40分、60分，每答錯一道題扣20分，總得分在面試60分的基礎上加或減．答題時每人總分達到100分或100分以上，直接錄用不再繼續(xù)答題；當四道題答完總分不足100分時不予錄用． 假設志愿者甲面試已通過且第二輪對A，B，C，D四個題回答正確的概率依次是$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
（Ⅰ） 用X表示志愿者甲在知識問答結束時答題的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期 望；
（Ⅱ）求志愿者甲能被錄用的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設某題M答對記為“M”，答錯記為“$\overline{M}$”，X的可能取值為2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（Ⅱ）由互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式能求出志愿者甲能被錄用的概率．

解答 解：（Ⅰ） 設某題M答對記為“M”，答錯記為“$\overline{M}$”
X的可能取值為2，3，4，
P（X=2）=P（AB）=$\frac{1}{4}$，
P（X=3）=P（$\overline{A}BC+A\overline{B}C$）=$\frac{1}{6}$，
P（X=4）=1-P（X=2）-P（X=3）=$\frac{7}{12}$，
X的分布列為：

X	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{12}$

EX=$2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{6}+4×\frac{7}{12}$=$\frac{10}{3}$．（6分）
（Ⅱ） 志愿者甲能被錄用的概率
P=P（AB+$\overline{A}BC$+$A\overline{B}C$+$\overline{A}\overline{B}CD$+$\overline{A}B\overline{C}D$+A$\overline{B}\overline{C}$D）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}××\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$
=$\frac{25}{48}$．（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．