Question

已知以C（2，0）為圓心的圓C和兩條射線y=±x，（x≥0）都相切，設動直線L與圓C相切，并交兩條射線于A、B，求線段AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：設直線L的方程為y=kx+b．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），通過

y=x y=kx+b

得求出A，通過

y=-x y=kx+b

得B，利用中點坐標公式得：k=

x

y

，b=

y2-x2

y

，通過圓C與y=±x都相切，推出（y²-x²）+4x（y²-x²）-2（y²-x²）=0，推出軌跡方程．

解答：解：設直線L的方程為y=kx+b．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
由

y=x y=kx+b

得A（

b

1-k

，

b

1-k

），（k≠1）
由

y=-x y=kx+b

得B（

-b

1+k

，

b

1+k

），
∴

x= x1+x2 2 = kb 1-k2 …①  y= y1+y2 2 = b 1-k2 …②

由①②得：k=

x

y

，b=

y2-x2

y

  ③
∵圓C與y=±x都相切
∴圓C的半徑r=

2

．
∵AB：kx-y+b=0與圓C相切，
∴

|2k+b|

k2+1

=

2

，即2k²+4kb+b²-=0  ④
將③代入④（y²-x²）+4x（y²-x²）-2（y²-x²）=0
∵y²≠x²，∴y²-x²+4x-2=0即（x-2）²-y²=2．（y≠0）
當L⊥x軸時，線段AB的中點M（2±

2

，0）也符合上面的方程，其軌跡在∠AOB內．

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查分析問題解決問題的能力，恰當消元利用已知條件是解題的關鍵，考查計算能力．