Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)在單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）證明見解析；

【解析】

（1）根據(jù)，求導得到，結合函數(shù)的定義域，分和兩種情況討論求解.

（2）當時，，將證明，轉化為證明成立，令，用導數(shù)法結合零點存在定理證明即可.

解法一：（1）因為，

所以，

當時，，即函數(shù)在單調(diào)遞增；

當時，令，即，解得；

令，即，解得，

綜上所述：當時，函數(shù)在單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）當時，，

欲證，只需證，即證明，

令，

所以，

令，已知函數(shù)在單調(diào)遞增.

又，，所以存在唯一，使得，

所以當時，，即；

當時，，即；

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

當時，，

因為，所以，所以，即，

所以不等式成立，即當時，.

解法二：（1）同解法一

（2）當時，，由（1）知：

在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

所以，所以，即.

欲證，只需證，即證，

即證，即只需證，

令，則，

令得；令得，

所以函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

所以，所以不等式成立，

即當時，.