Question

有如下列命題：
①三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍的三角形存在且唯一；
②若

a

•

b

≥|

a

|•|

b

|，則存在正實(shí)數(shù)λ，使得

a

=λ

b

；
③若函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2+3a-3)x+1在點(diǎn)x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a=1或a=-2；
④函數(shù)f（x）=x-sinx有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號是

①④

．

Answer 1

分析：①利用余弦定理進(jìn)行判斷．②利用數(shù)量積的定義和公式進(jìn)行判斷．③利用導(dǎo)數(shù)和極值的關(guān)系判斷．④利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答：解：①設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個(gè)自然n-1，n，n+1，三個(gè)角分別為α，π-3α，2α，由正弦定理可得

n-1

sin?α

=

n+1

sin?2α

=

n+1

2sin?αcos?α

，∴cosα=

n+1

2(n-1)

．
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα，即 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n

n+1

2(n-1)

．化簡可得n²-5n=0，∴n=5． 此時(shí)，三角形的三邊分別為：4，5，6，可以檢驗(yàn)最大角是最小角的2倍．綜上，存在一個(gè)三角形三邊長分別為 4，5，6，且最大角是最小角的2倍．所以①正確．
②若

a

•

b

≥|

a

|•|

b

|，所以當(dāng)

b

=

0

滿足條件，所以②錯(cuò)誤．
③函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=x²-2ax+a²+3a-3，因?yàn)辄c(diǎn)x=1處取得極值，所以f'（1）=1-2a+a²+3a-3=0，解得a=1或a=-2，當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）=x²-2x+1=（x-1）²≥0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，無極值，所以③錯(cuò)誤．
④函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=1-cosx≥0，所以函數(shù)f（x）=x-sinx單調(diào)遞增，因?yàn)閒（0）=0，所以函數(shù)f（x）=x-sinx有且只有一個(gè)零點(diǎn)，正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．