Question

【題目】（本小題滿分12分）在如圖所示的五面體中，面為直角梯形， ，平面平面， ， 是邊長為2的正三角形．

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，根據(jù)條件證明出和即可；

（2）分別以直線為軸和軸， 點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.

試題解析：

（1）取的中點，連接，依題意易知，

平面平面平面 .

又 ，所以平面，所以.

在和中， .

因為， 平面，所以平面.

（2）分別以直線為軸和軸， 點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

依題意有： ， ， ，

設(shè)平面的一個法向量，由，得，

由，得，令，可得.

又平面的一個法向量，所以.

所以二面角的余弦值為.

注：用其他方法同樣酌情給分.