Question

（1）設(shè)，求證:

（2）已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值及對(duì)應(yīng)的x、y值．

（3）已知實(shí)數(shù)滿足， 的最大值及對(duì)應(yīng)的x、y、z值．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；

（2），時(shí)有最小值為。

（3）當(dāng)時(shí)，取最大值，所以．

【解析】

試題分析：（1）法一，分析法：證明使a3+b3＞a2b+ab2成立的充分條件成立，

法二，綜合法：由條件a≠b推出：a2-2ab+b2＞0，通過(guò)變形，應(yīng)用不等式的性質(zhì)可證出結(jié)論．（2）利用基本不等式求最值必須滿足一正，二定，三相等三個(gè)條件，并且和為定值時(shí)，積有最大值，積為定值時(shí)，和有最小值（3）柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解�？稍谧C明不等式，解三角形相關(guān)問(wèn)題，求函數(shù)最值，解方程等問(wèn)題的方面得到應(yīng)用，，注意變形

試題解析：證明：法一：（分析法）

要證a2+b2＞a2b+ab2成立，

只需證（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）成立

又因?yàn)閍＞0，

只需證a2-ab+b2＞ab成立，

而依題設(shè)a≠b，則（a-b）2＞0顯然成立，

由此命題得證．

法二：（綜合法）∵a≠b，

∴a-b≠0

∴a2-2ab+b2＞0

∴a2-ab+b2＞ab（*）

而a，b均為正數(shù)，

∴a+b＞0，

∴（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）

∴a3+b3＞a2b+ab2．

（2）因?yàn)檎龜?shù)x、y滿足2x+y=1，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。 由 得所以當(dāng)，時(shí)有最小值為。

（3）解：由柯西不等式：

．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015012806052693265124/SYS201501280605336984699057_DA/SYS201501280605336984699057_DA.014.png">所以，即．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015012806052693265124/SYS201501280605336984699057_DA/SYS201501280605336984699057_DA.017.png">的最大值是7,所以，得，

當(dāng)時(shí)，取最大值，所以．

考點(diǎn)：作差法是比較兩個(gè)代數(shù)式大小的與基本不等式及柯西不等式