Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,且,點(diǎn)在橢圓上,且的周長(zhǎng)為6.
(I)求橢圓的方程;
(II)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,點(diǎn)到直線的距離為,且三點(diǎn)共線.求的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題中條件確定、、的值，進(jìn)而確定橢圓的方程；（Ⅱ）對(duì)直線的斜率存在與否進(jìn)行分類(lèi)討論，并在相應(yīng)的情況下求出的最大值，并作出比較，尤其是在處理直線的斜率存在，一般將直線的方程設(shè)為，借助韋達(dá)定理，確定與之間的關(guān)系，然后將化為自變量為或的函數(shù)，借助函數(shù)的最值來(lái)求取，但要注意相應(yīng)自變量的取值范圍.
試題解析：解:(I)由已知得且,
解得,又,
所以橢圓的方程為.
3分
(II)設(shè).
當(dāng)直線與軸垂直時(shí),由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知,點(diǎn)在軸上,且與點(diǎn)不重合,
顯然三點(diǎn)不共線,不符合題設(shè)條件.
故可設(shè)直線的方程為.
由消去整理得
.                ①
則,
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9a/c/fhxbu3.png" style="vertical-align:middle;" />三點(diǎn)共線,所以,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/70/0/p492l1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
此時(shí)方程①為,則,
所以,
又,
所以,
故當(dāng)時(shí),的最大值為.[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
13分
考點(diǎn)：橢圓的方程、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離