Question

設(shè)n為奇數(shù)，那么11ⁿ+

C

1 n

•11n-1

+C

2 n

•11n-2+…

+C

n-1 n

•11-1除以13的余數(shù)是（　�。�

A．-3

B．2

C．10

D．11

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由二項式定理，可以將11ⁿ+C_n¹•11^n-1+C_n²•11^n-2+…+C_n^n-1•11-1變形為C_n⁰•13ⁿ-C_n¹•13^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•13+（-1）ⁿC_nⁿ-2，又由n為奇數(shù)，則可得11ⁿ+C_n¹•11^n-1+C_n²•11^n-2+…+C_n^n-1•11-1=C_n⁰•13ⁿ-C_n¹•13^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•13-3，即可得到答案．

解答：解：根據(jù)題意，11ⁿ+C_n¹•11^n-1+C_n²•11^n-2+…+C_n^n-1•11-1
=11ⁿ+C_n¹•11^n-1+C_n²•11^n-2+…+C_n^n-1•11+C_nⁿ-2
=（11+1）ⁿ-2=12ⁿ-2=（13-1）ⁿ-2
=C_n⁰•13ⁿ-C_n¹•13^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•13+（-1）ⁿC_nⁿ-2
又由n為奇數(shù)，則11ⁿ+C_n¹•11^n-1+C_n²•11^n-2+…+C_n^n-1•11-1=C_n⁰•13ⁿ-C_n¹•13^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•13-3，
且C_n⁰•13ⁿ-C_n¹•13^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•13可以被13整除，
則11ⁿ+C_n¹•11^n-1+C_n²•11^n-2+…+C_n^n-1•11-1被13除所得的余數(shù)是10．
故選：C．

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，將條件進(jìn)行等價變形是解決本題的關(guān)鍵．