Question

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意x、y∈R恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)不恒為0.

(1)求f(1)和f(－1)的值；

(2)試判斷f(x)的奇偶性，并加以證明；

(3)若x≥0時f(x)為增函數(shù)，求滿足不等式f(x＋1)－f(2－x)≤0的x的取值集合．

Answer 1

解：(1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)．

∴f(1)＝0.

令x＝y＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)．

∴f(－1)＝0.

(2)令y＝－1，由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得

f(－x)＝f(x)＋f(－1)．

又f(－1)＝0，∴f(－x)＝f(x)，

又f(x)不恒為0，∴f(x)為偶函數(shù)．

(3)由f(x＋1)－f(2－x)≤0，知f(x＋1)≤f(2－x)．

又由(2)知f(x)＝f(|x|)，

∴f(|x＋1|)≤f(|2－x|)．

又∵f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，∴|x＋1|≤|2－x|.

故x的取值集合為.