Question

【題目】設橢圓的左、右交點分別為， ，點滿足．

（）求橢圓的離心率．

（）設直線與橢圓相交于， 兩點，若直線與圓相交于， 兩點，且，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）直接利用|PF2|=|F1F2|，對應的方程整理后即可求橢圓的離心率e；（Ⅱ）先把直線PF2與橢圓方程聯(lián)立求出A，B兩點的坐標以及對應的|AB|兩點，進而求出|MN|，再利用弦心距，弦長以及圓心到直線的距離之間的等量關系，即可求橢圓的方程

試題解析：(Ⅰ)設， ．

因為，則， ，

由，有，即， （舍去）或．

所以橢圓的離心率為．

(Ⅱ) 解．因為，所以， ．所以橢圓方程為．

直線的斜率，則直線的方程為．

兩點的坐標滿足方程組

消去并整理得．則， ．

于是 不妨設， ．

所以．

于是．

圓心到直線的距離，

因為，所以，即，

解得（舍去），或．于是， ．

所以橢圓的方程為．