Question

已知點(diǎn)的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中，x₁=0，x₂=a（a＞0），A₃是線段A₁A₂的中點(diǎn)，A₄是線段A₂A₃的中點(diǎn)，…，A_n是線段A_n－2A_n－1的中點(diǎn)，……

（Ⅰ）寫出x_n與x_n－1、x_n－2之間的關(guān)系式（n≥3）；

（Ⅱ）設(shè)a_n=x_n＋1－x_n計(jì)算a₁，a₂，a₃，由此推測(cè)數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式，并加以證明；

（Ⅲ）求x_n．

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：當(dāng)n≥3時(shí)，xn=． （Ⅱ）解：a1=x2－x1=a，a2=x3－x2= 由此推測(cè)an=（）n－1a（n∈N*）. 用數(shù)學(xué)歸納法證明. （ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a1=x2－x1=a=（）0a，公式成立． （ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，公式成立，即ak=（）k－1a成立. 那么當(dāng)n=k＋1時(shí)， ，公式仍成立． 根據(jù)（ⅰ）與（ⅱ）可知，對(duì)任意n∈N，公式an=（）n－1a成立． （Ⅲ）解：當(dāng)n≥3時(shí)，有xn=（xn－xn－1）＋（xn－1－xn－2）＋…＋（x2－x1）＋x1 =an－1＋an－2＋…＋a1， 由（Ⅱ）知｛an｝是公比為的等比數(shù)列，∴．