Question

(本小題滿分13分) 設(shè)橢圓E中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為4,點(diǎn)M（2，）在橢圓上，。
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動直線L交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，且，求△OAB的面積的取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）S。

解析試題分析：（1）因?yàn)闄E圓E: （a>b>0）過M（2，） ，2b=4
故可求得b=2,a=2  橢圓E的方程為      ……2分
（2）設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），當(dāng)直線L斜率存在時(shí)設(shè)方程為，
解方程組得,即,
則△=,
即（*）……………………4分
,要使,需使,即,
所以, 即   ①………………………7分
將它代入（*）式可得……………………………8分
P到L的距離為
又
將及韋達(dá)定理代入可得……………………10分
當(dāng)時(shí)
由 故……………12分
當(dāng)時(shí),
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí),  ,
綜上S……………………………13分
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系。
點(diǎn)評：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解析幾何的基本問題，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問題，常常運(yùn)用韋達(dá)定理，本題屬于中檔題。