Question

已知向量α，β，γ滿足|α|＝1，|α－β|＝|β|，(α－γ)·(β－γ)＝0.若對(duì)每一個(gè)確定的β，|γ|的最大值和最小值分別為m，n，則對(duì)任意β，m－n的最小值是(　　)

A. B．1 C．2 D.

 

Answer 1

A

【解析】方法一，設(shè)α＝(1，0)，β＝，γ＝(x，y)，由(α－γ)·(β－γ)＝0，得(x－1，y)＝0，即x2－x＋＋y2－ty＝0，配方得.|γ|的幾何意義是圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，其最大值為圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離加圓的半徑，最小值為圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離減去圓的半徑，最大值與最小值之差為圓的直徑，故m－n＝2 ≥，當(dāng)且僅當(dāng)t＝0時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)β＝.

方法二，將向量α，β，γ的起點(diǎn)放在點(diǎn)O，終點(diǎn)分別記作A，B，C.由|α－β|＝|β|可知點(diǎn)B在OA的垂直平分線上．根據(jù)(α－γ)·(β－γ)＝0知點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，則m－n為圓的直徑．又因?yàn)?/span>OB＝AB，故只要OB最小即得，結(jié)合圖形，在點(diǎn)B為OA的中點(diǎn)時(shí)取得，即m－n的最小值為.