Question

給出下列結論：
①已知命題：p：存在x∈R，tanx=1；，命題q：任意x∈R，x²-x+1＞0，則命題“p∧￢q”是假命題；
②已知直線l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，則l₁⊥l₂的充要條件是

a

b

=-3；
③若sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，則tanα=5tanβ；
④圓x²+y²+4x-2y+1=0與直線y=

1

2

x，所得弦長為2．
其中正確命題序號為

 

（把你認為正確的命題序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①，分別判斷命題p與命題￢p、命題q與命題￢q的真假，即可判斷命題“p∧￢q”的真假；
②，利用直線l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，則l₁⊥l₂的充要條件是a+3b=0，可判斷②；
③，由sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，可求得

sinαcosβ= 5 12 cosαsinβ= 1 12

，從而可判斷③；
④，求得圓x²+y²+4x-2y+1=0的圓心與半角，求得圓心到直線y=

1

2

x的距離d，利用弦長公式可求得所截得的弦長為，可判斷④．

解答： 解：對于①，已知命題：p：存在x=

π

4

∈R，tanx=tan

π

4

=1，故命題p正確；
命題q：任意x∈R，x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

＞0，即命題q正確，故￢q為假命題；
則命題“p∧￢q”是假命題，故①正確；
對于②，已知直線l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，則l₁⊥l₂的充要條件a+3b=0，而不是

a

b

=-3（它排除了b=0的情況），故②錯誤；
對于③，因為sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，
所以sinαcosβ+sinβcosα=

1

2

，（1）
sinαcosβ-sinβcosα=

1

3

，（2）
聯(lián)立（1）（2），解得：

sinαcosβ= 5 12 cosαsinβ= 1 12

，
所以tanα=5tanβ，故③正確；
對于④，圓x²+y²+4x-2y+1=0的標準方程為：（x+2）²+（y-1）²=4，其圓心為（-2，1），半徑為2，
圓心（-2，1）到直線x-2y=0的距離d=

|-2-2|

12+(-2)2

=

4

5

，
該圓與直線y=

1

2

x相交，所得弦長l=2

22-( 4 5 )2

=

4

5

=

4 5

5

≠2，故④錯誤；
故答案為：①③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查全稱命題與特稱命題之間的關系及真假判斷，考查直線與直線、直線與圓的位置關系，考查三角函數(shù)間的關系式的應用，屬于中檔題．