Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，在上恒成立，求的取值范圍；

（2）設(shè)數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，過(guò)線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交，于點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）不存在.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求得求解；

（2）由（1）得在上恒成立，令得，則，即可作出證明；

（3），設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，，得到在點(diǎn)處的切線斜率為，在點(diǎn)處的切線斜率為，根據(jù)，即，整理得，設(shè)，得到函數(shù)，，再令，，利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性和最值，即可求解．

（1）當(dāng)時(shí)，，即，

設(shè)，則.

若，顯然不滿足題意；

若，則時(shí)，恒成立，

所以在上為減函數(shù)，有在上恒成立；

若，則時(shí)，，時(shí)，

所以在上單調(diào)遞增．

∵，∴時(shí)，，不滿足題意．

綜上，時(shí)在上恒成立．

（2）由（1）得在上恒成立，

令有，，

則，

∴ ，

即.

（3），設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，，且，

則點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

在點(diǎn)處的切線斜率為，

在點(diǎn)處的切線斜率為，

假設(shè)在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則，即.

所以

，

所以.

設(shè)，則，.�、�

令，，則.

因?yàn)?/span>，所以，所以在上單調(diào)遞增．

故，則.

這與①矛盾，假設(shè)不成立．

故不存在點(diǎn)，使在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行．