Question

13．如圖，△ABC的外接圓為⊙O，延長CB至Q，再延長QA至P，使得QC²-QA²=BC•QC．
（Ⅰ）求證：QA為⊙O的切線；
（Ⅱ）若AC恰好為∠BAP的平分線，AB=10，AC=15，求QA的長度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得QC•QB=QA²，即$\frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QB}$，可得△QCA∽△QAB，進而∠QAB=QCA，根據(jù)弦切角定理的逆定理可得QA為⊙O的切線；
（Ⅱ）根據(jù)弦切角定理可得AC=BC=15，結(jié)合（I）中結(jié)論，可得QC：QA=AC：AB=15：10，進而得到答案．

解答 證明：（Ⅰ）∵QC²-QA²=BC•QC，
∴QC（QC-BC）=QA²，
即QC•QB=QA²，
于是$\frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QB}$，
∴△QCA∽△QAB，
∴∠QAB=QCA，
根據(jù)弦切角定理的逆定理可得QA為⊙O的切線，（5分）
解：（Ⅱ）∵QA為⊙O的切線，
∴∠PAC=∠ABC，而AC恰好為∠BAP的平分線，
∴∠BAC=∠ABC，
于是AC=BC=15，
∴QC²-QA²=15QC，①
又由△QCA∽△QAB得
QC：QA=AC：AB=15：10，②
聯(lián)合①②消掉QC，得QA=18．（10分）

點評 本題考查的知識點是弦切角定理及其逆定理，圓的切線的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，難度中檔．