Question

（20）設(shè)a為實數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為g(a)。

（Ⅰ）設(shè)t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)

（Ⅱ）求g(a)

（Ⅲ）試求滿足的所有實數(shù)a

Answer 1

(20)本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.

解：（Ⅰ）∵t=

∴要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1.

∵t²=2+2 t≥0，     ①

∴t的取值范圍是［］.

由①得

∴m（t）=a

（Ⅱ）由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=at²+t-a，t∈［，2］的最大值.

注意到直線t=-是拋物線m（t）=at²+t-a的對稱軸，分以下幾種情況討論.

(1)當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=m(t),t∈［，2］的圖像是開口向上的拋物線的一段，由t=-知m（t）在［，2］上單調(diào)遞增，

∴g（a）=m（2）=a+2.

(2)當(dāng)a=0時，m（t）=t，t∈［，2］，∴g（a）=2.

(3)當(dāng)a＜0時，函數(shù)y=m（t），t∈［，2］的圖像是開口向下的拋物線的一段.

若t=-］，即a≤-，則g（a）=m（）=.

若t=-］，即a∈(-,-)，則g（a）=m（-）=-a-

若t=-)，即a∈(-，0)，則g（a）=m（2）=a+2.

綜上有     g(a)=

(Ⅲ)解法一：

情形1：當(dāng)a＜-2時，此時g（a）=，g（）=+2.

由2+=解得a=-1-,與a＜-2矛盾.

 

情形2:當(dāng)-2≤a＜-時，-＜，此時g（a）=,

g()=--,由=--解得a=-,與a＜-矛盾.

情形3：當(dāng)-≤a≤-時，-≤≤-，此時g（a）==g（），

所以-≤a≤-.

情形4：當(dāng)-＜a≤-時，-2≤＜-,此時g（a）=-a-

g()=,由-a-解得a=-,與a＞-矛盾.

情形5：當(dāng)-＜a＜0時，＜-2，此時g（a）=a+2，g（）=，

由a+2=解得a=-2，與a＞-矛盾.

情形6：當(dāng)a＞0時，＞0，此時g（a）=a+2，g（）=+2,

由a+2=+2解得a=±1，由a＞0知a=1.

綜上知，滿足g（a）=g（）的所有實數(shù)a為：

-≤a≤-或a=1.

解法二：

當(dāng)a＞-時，g（a）=a+2＞

當(dāng)-＜a≤-時，-a∈［-］，所以-a≠-

g（a）=-a-＞2因此，當(dāng)a＞-時，g（a）＞.

當(dāng)a＞0時，＞0，由g（a）=g（）知a+2=+2解得a=1.

當(dāng)a＜0時，a·=1，因此a≤-1或≤-1，從而g（a）=或g（）=.

要使g（a）=g（），必須有a≤-，≤-，即-≤a≤-.

此時g（a）==g（）.

綜上知，滿足g（a）=g（）的所有實數(shù)a為：

-≤a≤-或a=1.