Question

如圖，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C、D的點(diǎn)，AE＝3，圓O的直徑為9．

(1)求證：平面ABCD⊥平面ADE；

(2)求二面角D－BC－E的平面角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上， 　　∴． 　　在正方形中，， 　　∵，∴平面． 　　∵平面， 　　∴平面平面． 　　(2)解法1：∵平面，平面， 　　∴． 　　∴為圓的直徑，即． 　　設(shè)正方形的邊長為， 　　在△中，， 　　在△中，， 　　由，解得，． 　　∴． 　　過點(diǎn)作于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連結(jié)， 　　由于平面，平面， 　　∴． 　　∵， 　　∴平面． 　　∵平面， 　　∴． 　　∵，， 　　∴平面． 　　∵平面， 　　∴． 　　∴是二面角的平面角． 　　在△中，，，， 　　∵， 　　∴． 　　在△中，， 　　∴． 　　故二面角的平面角的正切值為． 　　解法2：∵平面，平面， 　　∴． 　　∴為圓的直徑，即． 　　設(shè)正方形的邊長為， 　　在△中，， 　　在△中，， 　　由，解得，． 　　∴． 　　以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在的直線為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，， 　　． 　　設(shè)平面的法向量為， 　　則即 　　取，則是平面的一個(gè)法向量． 　　設(shè)平面的法向量為， 　　則即 　　取，則是平面的一個(gè)法向量． 　　∵， 　　∴． 　　∴． 　　故二面角的平面角的正切值為．

提示：

本小題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力