Question

已知函數(shù)f(x)=x²+lnx.

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,e］上的最大值和最小值；

(Ⅱ)求證：在區(qū)間(1，+∞)上函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x³的圖象的下方；

(Ⅲ)設(shè)h(x)=f′(x)，證明：［h(x)］ⁿ-h(xⁿ)≥2ⁿ-2.

Answer 1

解析：(Ⅰ)f′(x)=x+，當x∈［1,e］時，f′(x)＞0,

∴f(x)在［1,e］上為連續(xù)的單調(diào)遞增函數(shù).

∴f_min(x)=f(1)=,f_max(x)=f(e)=e²+1.

(Ⅱ)設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=x²+lnx-x²,

    又F′(x)=x+-2x²===

    當x∈(1,+∞)時，1-x＜0,x＞0,2x²+x+1＞0成立，

∴F′(x)＜0，即在［1,+∞］上連續(xù)的函數(shù)F(x)單調(diào)遞減，

∴x∈(1,+∞)時，F(xiàn)(x)＜F(1)=-=-＜0,

    即F(x)＜0,∴f(x)＜g(x),

∴結(jié)論成立.

(Ⅲ)由已知h(x)=f′(x)=x+,

∴［h(x)］ⁿ-h(xⁿ)=(x+)ⁿ-xⁿ-

=x^n-1+x^n-2+…+x²+x

=x^n-2+x^n-4+…++

=［(x^n-2+)+(x^n-4+)+…+(+x^n-4)+(+x^n-2)］

    又∵x＞0,

∴上式≥(2+2+…+2+2)

=++…+=2ⁿ-2.

∴結(jié)論成立.