Question

下面玩擲骰子放球的游戲：若擲出1點，甲盒中放入一球；若擲出2點或是3點，乙盒中放入一球；若擲出4點或5點或6點，丙盒中放入一球!設擲n次后，甲、乙、丙盒內的球數分別為x，y，z
（1）當n=3時，求x、y、z成等差數列的概率；（2）當n=6時，求x、y、z成等比數列的概率；
（3）設擲4次后，甲盒和乙盒中球的個數差的絕對值為ξ，求Eξ．
分析：顯然題目描述的是獨立重復實驗，但不是我們熟悉的兩個而是三個，因此需要運用類比方法求解．

Answer 1

分析：（1）根據x+y+z=3，且2y=x+z，求出x、y、z的值有三種情形，然后分別求出三種情形時所對應的概率，最后根據互斥事件的概率公式解之即可；
（2）根據n=6，且x、y、z成等比數列時，則x+y+z=6，且y²=x•z求出x、y、z的值，然后根據n次獨立重復試驗的概率公式解之即可；
（3）ξ的可能值為0，1，2，3，4，分別根據n次獨立重復試驗的概率公式求出相應的概率，最后利用數學期望公式進行求解．

解答：解：（1）因x+y+z=3，且2y=x+z，所以

x=0 y=1 z=2

，或

x=1 y=1 z=1

，或

x=2 y=1 z=0

當x=0，y=1，z=2時，只投擲3次出現(xiàn)1次2點或3點、2次4點或5次6點，即此時的概率為

C

1 3

•(

1

6

)0•(

1

3

)1•(

1

2

)2=

1

4

．
當x=1，y=1，z=1時，只投擲3次出現(xiàn)1次1點、1次2點或是3點、1次4點或5點或6點，即此時的概率為

C

1 3

•

C

1 2

•(

1

6

)1•(

1

3

)1•(

1

2

)1=

1

6

．
當x=2，y=1，z=0時，只投擲3次出現(xiàn)2次1點、1次2點或3點，即此時的概率為

C

1 3

•(

1

6

)2•(

1

3

)1•(

1

2

)0=

1

36

．
故當n=3時，x，y，z成等差數列的概率為

1

4

+

1

6

+

1

36

=

4

9

；
（2）當n=6，且x、y、z成等比數列時，由x+y+z=6，且y²=x•z得：x=y=z=2．此時概率為

C

2 6

•(

1

6

)2•

C

2 4

•(

1

3

)2•

C

2 2

•(

1

2

)2=

5

72

；
（3）ξ的可能值為0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=(

1

2

)4+

C

1 4

•(

1

6

)1•

C

1 3

•(

1

3

)1•

C

2 2

(

1

2

)2+

C

2 4

•(

1

6

)2•

C

2 2

(

1

3

)2=

107

432

P(ξ=1)=

C

1 4

(

1

6

)1(

1

2

)3+

C

1 4

(

1

3

)1(

1

2

)3+

C

2 4

(

1

6

)2

C

1 2

(

1

3

)1

C

1 1

(

1

2

)1+

C

1 4

(

1

6

)1

C

2 3

(

1

3

)2

C

1 1

(

1

2

)1=

5

12

P(ξ=2)=

C

2 4

(

1

6

)2(

1

2

)2+

C

2 4

(

1

3

)2(

1

2

)2+

C

3 4

(

1

6

)3(

1

3

)1+

C

1 4

(

1

6

)1(

1

3

)3=

155

648

P(ξ=3)=

C

3 4

(

1

6

)3(

1

2

)1+

C

3 4

(

1

3

)1(

1

2

)1=

1

12

；P(ξ=4)=

C

4 4

(

1

6

)4+

C

4 4

(

1

3

)4=

17

1296

；Eξ=

107

432

×0+

5

12

×1+

155

648

×2+

1

12

×3+

17

1296

×4=

97

81

．

點評：本題主要考查了等差數列、等比數列的性質，以及離散型隨機變量的期望和n次獨立重復試驗的概率，同時考查了計算能力，屬于中檔題．