Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且4Sn=（an+1）2（n∈N+）． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)Tn為數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，證明： ≤Tn＜1（n∈N+）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，4a1=（a1+1）2 ， 解得：a1=1， 當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2 ， 4Sn=（an+1）2 ，
兩式相減得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，
∵an＞0，
∴an﹣an﹣1=2，
∴數(shù)列{an}是以2為公差，以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
∴an=2n﹣1；
證明：（Ⅱ） = = ﹣ ，
∴Tn=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ），
=1﹣ ，
∴Tn＜1，
＞0，
∴Tn≥T1= ．
∴ ≤Tn＜1（n∈N+）
【解析】（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，即可求得a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2 ， 4Sn=（an+1）2 ， 兩式相減可得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，可知：an﹣an﹣1=2，數(shù)列{an}是以2為公差，以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ） = ﹣ ，根據(jù)“裂項(xiàng)法”即可求得Tn=1﹣ ，Tn＜1，由Tn≥T1= ．即可證明 ≤Tn＜1（n∈N+）．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．