Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx•sin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinx•cosx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象按向量

a

=（m，0）平移后得到g（x）的圖象，求使函數(shù)g（x）為偶函數(shù)的m的最小正值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用倍角公式及和差公式把f（x）化成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，（1）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）由圖象平移求出g（x）的解析式，由g（x）為偶函數(shù)得到m關(guān)于k的表達(dá)式，進(jìn)而求出m的最小值．

解答： 解：f（x）=2cosx•sin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinx•cosx
=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

2

（1-cos2x）+

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）-

3

2

+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）；
（1）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
得：

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ（k∈Z）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]（k∈Z）．
（2）函數(shù)f（x）的圖象按向量

a

=（m，0）平移后得到
g（x）=2sin[2（x-m）+

π

3

]=2sin（2x-2m+

π

3

）
要使g（x）為偶函數(shù)，須-2m+

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z）
∴m=-

π

12

-

kπ

2

（k∈Z）
當(dāng)k=-1，m取最小值

5π

12

所以使函數(shù)g（x）為偶函數(shù)的m的最小正值為

5π

12

．

點評：本題考查了三角變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是把函數(shù)f（x）化成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式．