Question

已知數(shù)列a_n滿足a₁=1，a_n+1=a_n+n（n∈N^*），數(shù)列b_n滿足b₁=1，（n+2）b_n+1=nb_n（n∈N^*），數(shù)列c_n滿足（n∈N^*）
（1）求數(shù)列a_n、b_n的通項公式；
（2）求數(shù)列c_n的通項公式；
（3）是否存在正整數(shù)k使得對一切n∈N^*恒成立，若存在求k的最小值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數(shù)列的遞推關系建立數(shù)列的第n項與前面各項的關系是解決本題的關鍵，注意累加思想和累乘思想的運用；
（2）利用相減的思想建立數(shù)列各項之間的關系是解決本題的關鍵，注意累乘思想的運用和分類討論思想的運用；
（3）將所給的不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵，注意分離變量思想和函數(shù)最值思想的運用．
解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+1=a_n+n（n∈N^*）
∴n≥2，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁==
∴（n∈N^*），（n+2）b_n+1=nb_n（n∈N^*）
∴，
∴=，
∴（n∈N^*）

（2）
∴（n≥2）（n∈N^*）
兩式相減得：
∴，得出c₂=2，n≥2
∴=
．
（3）當n=1時，
∴且k∈N^*k≥7且k∈N^*
當n≥2時，，即
k（n²-n+9）＞4n²+21n+36
∵n²-n+9＞0恒成立，
∴
事實上：=（n=3取等號）
∴=9∴k＞9且k∈N^*．
綜上：k≥10，k∈N^*故k的最小值為10．
點評：本題考查數(shù)列的遞推關系與數(shù)列通項公式之間的關系，考查通過數(shù)列的遞推關系尋找相鄰項之間關系的累加法和累乘法求數(shù)列的通項公式，考查學生分析問題解決問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學生不等式恒成立問題的解決方法，考查學生的函數(shù)思想處理數(shù)列問題．