Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若直線是函數(shù)的圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，（i）關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍，（ii）

證明：當(dāng)時(shí)， .

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)，得 又，解方程即可；

（2）（i）方程即為，令，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而判斷方程根個(gè)數(shù)即可；

（ii）令， ，令，求導(dǎo)可得函數(shù)在上遞增， 存在唯一的零點(diǎn)， ，由得可得即可證得.

試題解析：

（1），設(shè)切點(diǎn)，

則，又，

即得： .

（2）當(dāng)時(shí)，（i）方程即為

令，則.

當(dāng)時(shí)， 隨變化情況如下表：

			極大值

，

當(dāng)時(shí)， ，

的取值范圍為.

（ii）證明：令，則

.

令，則當(dāng)時(shí)， ，

函數(shù)在上遞增， ，

存在唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，

則當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

在上遞減，在上遞增，從而.

由得，兩邊取對數(shù)得，

，從而證得.