Question

20．己知曲線f（x）=$\frac{2}{3}$x³-x²+ax-1存在兩條斜率為3的切線，且切點的橫坐標(biāo)都大于零，則實數(shù)a的取值范圍為（3，$\frac{7}{2}$）．

Answer 1

分析 求得導(dǎo)數(shù)，由題意可得2x²-2x+a=3，即2x²-2x+a-3=0有兩個不相等的正根，運用判別式大于0，韋達(dá)定理，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{2}{3}$x³-x²+ax-1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x²-2x+a，
由題意可得2x²-2x+a=3，即2x²-2x+a-3=0有兩個不相等的正根，
則△=4-8（a-3）＞0，a-3＞0，
解得3＜a＜$\frac{7}{2}$．
故答案為：（3，$\frac{7}{2}$）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，注意運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和二次方程的實根的分布，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．