Question

【題目】已知直線為橢圓的右準(zhǔn)線，直線與軸的交點(diǎn)記為，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（1）設(shè)點(diǎn)在直線上，且滿足，若直線與線段交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與直線交于點(diǎn)，試問是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）為定值0.

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，直線的方程為， 故直線的方程為.再聯(lián)立橢圓方程和直線，根據(jù)韋達(dá)定理求出線段的中點(diǎn)為，滿足直線方程，所以，直線與線段交點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)， . 直線的斜率不為0時(shí)，計(jì)算直線的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)與點(diǎn)相等，即，.

（1）由橢圓方程為知，右焦點(diǎn)坐標(biāo)，橢圓的右準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)坐標(biāo).

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與線段交點(diǎn)即為右焦點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

②又由知，直線的斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，

從而，直線的方程為，令得，點(diǎn)坐標(biāo)為，

故直線的方程為.

聯(lián)立方程組，消去得：，

設(shè)，，則，

即，，

從而，線段的中點(diǎn).

又線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程，

所以，直線與線段交點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

綜上可知，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，點(diǎn)即為點(diǎn)，從而，故.

直線的斜率不為0時(shí)，

由（1）知，，，

所以，則.

直線的方程為，又，

令，得，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)與點(diǎn)相等。

即，所以.

綜上可知，為定值0.