Question

在△ABC中，已知A(0，a)，B(0，－a)，AC、BC兩邊所在的直線分別與軸交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)M和點(diǎn)N，且滿足(a為不等于零的常數(shù))．

(Ⅰ)求點(diǎn)C的軌跡方程；

(Ⅱ)取a＝2，是否存在斜率為2的直線l與點(diǎn)C的軌跡相交于不同的P、Q兩點(diǎn)，且使△APQ為以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形？若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)，． 　　當(dāng)時(shí)，軸，當(dāng)時(shí)，軸，與題意不符，所以;　1分 　　由、、三點(diǎn)共線有，解得．　3分 　　同理，由、、三點(diǎn)共線，解得．　5分 　　，， 　　化簡得點(diǎn)的軌跡方程為．　7分 　　(Ⅱ)設(shè)直線的方程為，的中點(diǎn)為， 　　由，得 　　所以， 　　化簡得　　①　10分 　　， 　　，即 　　，　13分 　　不適合① 　　所以不存在斜率為2的直線與點(diǎn)的軌跡相交于不同的、兩點(diǎn)，且使為等腰三角形．　14分