Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，一個頂點為B（0，-2），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點A（0，3）的直線l與橢圓交于M、N兩點，且|BM|=|BN|，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用離心率，b=2，a²=b²+c²即可得出；
（2）當直線l斜率不存在時，易知不滿足題設(shè)要求．可設(shè)直線l的方程為：y=kx+3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．MN的中點為P（x，y）．
把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，由于|BM|=|BN|，利用垂直平分即可得出直線BP的斜率．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，可設(shè)橢圓：
橢圓一個頂點為B（0，-2），∴b=2，
∵離心率為，∴，∴．①
又∵a²=c²+b²，∴a²=c²+4…②
     聯(lián)立①②解得，a²=12      
∴橢圓的方程為：．
（Ⅱ）當直線l斜率不存在時，易知不滿足題設(shè)要求．
可設(shè)直線l的方程為：y=kx+3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．MN的中點為P（x，y）．
由 消去x 得 （3k²+1）x²+18kx+15=0，
要使直線l與橢圓交于M、N兩點，則必須滿足：△=（18k）²-60×（3k²+1）＞0，即 …（*）
則，∴
則，
∵|BM|=|BN|，∴BP⊥MN，
又 B（0，-2），
解得：，滿足（*）式   
∴直線l的方程是．
點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、利用斜率關(guān)系及其中點坐標公式夾角垂直平分問題等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．