Question

已知數(shù)列{a_n}對(duì)于任意的p、q∈N^*，滿(mǎn)足a_p+q=a_p+a_q且a₂=2，則

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

a2008a2009

=

2008

2009

．

Answer 1

分析：由題意a_p+q=a_p+a_q且a₂=2，求出a₁=1，推出數(shù)列是等差數(shù)列，然后可以裂項(xiàng)法化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，得到結(jié)果．

解答：解：數(shù)列{a_n}對(duì)于任意的p、q∈N^*，滿(mǎn)足a_p+q=a_p+a_q且a₂=2，所以a₂=a₁+a₁且a₁=1，
所以a_n+1=a_n+1，數(shù)列是等差數(shù)列，a_n=n，所以

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

a2008a2009

=-（

1

a2

- 

1

a1

+

1

a3

-

1

a2

+…+

1

a2009

-

1

a2008

）=1-

1

2009

=

2008

2009

．
故答案為：

2008

2009

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的求法，考查計(jì)算能力．