Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求的值；

（2）設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)， ，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)求的值，解題時(shí)注意這一條件的運(yùn)用；（2）利用（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)， ，

即，進(jìn)而，此時(shí)令，可得，所以，最后在此結(jié)論的基礎(chǔ)上，可以得到，故可求出。

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>，

所以，且．

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以在（0,1）上f(x)<0, 與f（x）≥0矛盾；

②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=a，

所以當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增。

所以當(dāng)時(shí)， 有最小值，且，

又因?yàn)?/span>，

所以，

解得a=1；

（2）由（1）可知當(dāng)a=1時(shí)f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，

所以ln（x+1）≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，

令，

所以，

所以．

因?yàn)?/span>，

所以，

又，

同時(shí)當(dāng)n≥3時(shí)， ．

因?yàn)?/span>m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n， ，

所以，

故m的最小值為3．