Question

8．定義域是R的函數(shù)，其圖象是連續(xù)不斷的，若存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則稱(chēng)f（x）是R上的一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”．有下列關(guān)于“λ的相關(guān)函數(shù)”的結(jié)論：
①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”；
②f（x）=x²是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”；
③“$\frac{1}{2}$的相關(guān)函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；
④若y=e^x是“λ的相關(guān)函數(shù)”，則-1＜λ＜0．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用新定義“λ的相關(guān)函數(shù)”，對(duì)①②③④逐個(gè)判斷即可得到答案

解答 解：解：①∵f（x）=0是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，則0+λ•0=0，λ可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，故①不正確；
②用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，
∴λ+1=2λ=λ²=0，而此式無(wú)解，
∴f（x）=x²不是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，故②不正確；
③令x=0得：f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（0）=0，
∴f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；
若f（0）≠0，f（$\frac{1}{2}$）•f（0）=-$\frac{1}{2}$f（0）•f（0）=-$\frac{1}{2}$f²（0）＜0，
又因?yàn)閒（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上必有實(shí)數(shù)根．因此任意的“$\frac{1}{2}$相關(guān)函數(shù)”必有根，即任意“$\frac{1}{2}$的相關(guān)函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，故③正確．
④假設(shè)f（x）=e^x是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”，則e^x+λ+λe^x=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，則有e^λ+λ=0，可解得-1＜λ＜0．④正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，函數(shù)的零點(diǎn)，正確理解f（x）是λ的相關(guān)函數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵