Question

6．已知${（{\sqrt{x}+\frac{1}{{2\root{4}{x}}}}）^n}$的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)；
（2）求含x項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)前三項(xiàng)系數(shù)1，$\frac{1}{2}$$c_n^1$，$\frac{1}{4}$$c_n^2$成等差數(shù)列，求得n的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)．
（2）利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得含x項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：（1）∵前三項(xiàng)系數(shù)1，$\frac{1}{2}$$c_n^1$，$\frac{1}{4}$$c_n^2$成等差數(shù)列．  
∴2•$\frac{1}{2}$$c_n^1$=1+$\frac{1}{4}$$c_n^2$，即n²-9n+8=0．∴n=8或n=1（舍）．
通項(xiàng)公式T_r+1=$c_8^r$•（$\sqrt{x}$）^8-r•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{-\frac{r}{4}}$=2^-r•${C}_{8}^{r}$•${x}^{4-\frac{3r}{4}}$，r=0，1，…，8．
∴第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為${C}_{8}^{2}$=28．第三項(xiàng)系數(shù)為 ${C}_{8}^{2}$•$\frac{1}{4}$=7．
（2）令4-$\frac{3}{4}$r=1，得r=4，∴含x項(xiàng)的系數(shù)為${（{\frac{1}{2}}）^4}$•$c_8^4$=$\frac{35}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．