Question

18．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0$，b＞0）的左、右焦點，若直線$y=\sqrt{3}x$與雙曲線C交于P、Q兩點，且四邊形PF₁QF₂是矩形，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $5-2\sqrt{5}$
• B． $5+2\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 由題意，矩形的對角線長相等，由此建立方程，找出a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，矩形的對角線長相等，
y=$\sqrt{3}$x代入$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0$，b＞0），
可得x=±$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}-3{a}^{2}}}$，y=±$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}-3{a}^{2}}}$，
∴$\frac{4{a}^{2}^{2}}{^{2}-3{a}^{2}}$=c²，
∴4a²b²=（b²-3a²）c²，
∴4a²（c²-a²）=（c²-4a²）c²，
∴e⁴-8e²+4=0，
∵e＞1，∴e²=4+2$\sqrt{3}$，
∴e=$\sqrt{3}$+1．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查矩形的性質(zhì)，確定a，c的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于中檔題．