Question

【題目】若存在直線l與曲線和曲線都相切,則稱曲線和曲線為“相關曲線”，有下列四個命

題：

①有且只有兩條直線l使得曲線和曲線為“相關曲線”；

②曲線和曲線是“相關曲線”；

③當時，曲線和曲線一定不是“相關曲線”；

④必存在正數(shù)使得曲線 和曲線 為“相關曲線”.

其中正確命題的個數(shù)為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

①判斷兩圓相交即可；②判斷兩雙曲線是共軛雙曲線即可；③判斷兩曲線可能相切即可；；④假設直線與曲線和曲線都相切，切點分別為，根據(jù)公切線重合，判斷方程有實數(shù)解即可.

①圓心，半徑，圓心，半徑，，因為，所以曲線與曲線有兩條公切線，所以①正確；②曲線和曲線是“相關曲線”是共軛雙曲線（一部分），沒有公切線，②錯誤；③由，消去，得：，即，令得：，當時，曲線與曲線相切，所以存在直線與曲線與曲線都相切，所以③錯誤；④假設直線與曲線和曲線都相切，切點分別為和，，，所以分別以和為切點的切線方程為，，由得：，令，則，令，得：（舍去）或，當時，，當時，，所以，所以方程有實數(shù)解，所以存在直線與曲線和曲線都相切，所以④正確．所以正確命題的個數(shù)是，故選B．