Question

某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)．(2)．(3)．(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形．

(1)求出f(5)的值；

(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達式；

(3)求的值．

Answer 1

解：(1)f(5)＝41.

(2)因為f(2)－f(1)＝4＝4×1，

f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4，

…

由上式規(guī)律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

因為f(n＋1)－f(n)＝4n，

所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，

f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)

＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)

＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)

＝…

＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4

＝2n2－2n＋1.

(3)當n≥2時，

＝1＋

＝－.