Question

已知數(shù)列{c_n}滿足c₁=1，c_n+1=

n

n+1

c_n，則數(shù)列c₅=

 

，通項c_n=

 

；若b_n=2c_nc_n+1，則數(shù)列{b_n}的前50項和為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：c₁=1，c_n+1=

n

n+1

c_n，可得

cn+1

cn

=

n

n+1

，c2=

1

2

．利用“累乘求積”可得c_n，可得b_n=2c_nc_n+1=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．再利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：∵c₁=1，c_n+1=

n

n+1

c_n，
∴

cn+1

cn

=

n

n+1

，c2=

1

2

．
∴當n≥2時，c_n=

cn

cn-1

×

cn-1

cn-2

×…×

c3

c2

×c₂
=

n-1

n

×

n-2

n-1

×…×

2

3

×

1

2

=

1

n

．
當n=1時，上式也成立．
∴cn=

1

n

．
∴c₅=

1

5

，c_n=

1

n

．
∴b_n=2c_nc_n+1=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴數(shù)列{b_n}的前50項和=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

50

-

1

51

)]
=2(1-

1

51

)
=

100

51

．
故答案分別為：

1

5

；

1

n

；

100

51

．

點評：本題考查了“裂項求和”、“累乘求積”方法，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．