Question

【題目】已知圓心在x軸上的圓C與直線切于點(diǎn)，圓.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知，圓P與x軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），過點(diǎn)M任作一條傾斜角不為0的直線與圓C相交于兩點(diǎn).問：是否存在實(shí)數(shù)a，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在滿足條件的a，且

【解析】

（1）根據(jù)切點(diǎn)在過該切點(diǎn)的切線上，可得的值，再根據(jù)切線的性質(zhì)，可以求出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可以求出半徑，最后求出圓的方程；

（2）假設(shè)這樣的a存在，，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與圓的方程聯(lián)立，根據(jù)，可以得到，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，可以求出的值.

（1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，由點(diǎn)E在直線l上，知

則，

，則，故

所以，即半徑.

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)這樣的a存在，在圓P中，令，得，

解得或，

又由知，所以.

由題可知直線的傾斜角不為0，設(shè)直線，，

由，得

∵點(diǎn)在圓C內(nèi)部，∴有恒成立，.

因?yàn)?/span>，所以，即，

也即是，整理得，

從而，化簡(jiǎn)有，

因?yàn)閷?duì)任意的都要成立，所以，

由此可得假設(shè)成立，存在滿足條件的a，且.