Question

已知f（x）=3-

1

x

，若存在區(qū)間[a，b]⊆（

1

2

，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：若存在區(qū)間[a，b]⊆（

1

2

，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，即f（x）=3-

1

x

=mx在區(qū)間（

1

2

，+∞）上有兩個不相等的實根，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于m的不等式組，解得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=3-

1

x

為增函數(shù)，
若{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，
則

f(a)=ma f(b)=mb

，
即f（x）=3-

1

x

=mx在區(qū)間（

1

2

，+∞）上有兩個不相等的實根，
即m=

3x-1

x2

在區(qū)間（

1

2

，+∞）上有兩個不相等的實根，
令g（x）=

3x-1

x2

，則g′（x）=

x(2-3x)

x4

，
令g′（x）=0，則x=

2

3

，或x=0（舍去），
∵當(dāng)x∈（

1

2

，

2

3

）時，g′（x）＞0，
當(dāng)x∈（

2

3

，+∞）時，g′（x）＜0，
故g（x）=

3x-1

x2

在（

1

2

，

2

3

）上遞增，在（

2

3

，+∞）遞減，
若m=

3x-1

x2

在區(qū)間（

1

2

，+∞）上有兩個不相等的實根，
則g（

1

2

）＜m＜g（

2

3

），
即：2＜m＜

9

4

，．
故答案為：2＜m＜

9

4

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)值，方程根的個數(shù)，解不等式，其中將問題轉(zhuǎn)化為f（x）=3-

1

x

=mx在區(qū)間（

1

2

，+∞）上有兩個不相等的實根，是解答的關(guān)鍵．