Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，an+1=

an

2an+1

（1）求{a_n}的通項公式．
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=

n

3

，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

an

2an+1

，兩邊取倒數(shù)可得

1

an+1

-

1

an

=2，，利用等差數(shù)列的通項公式可求

1

an

從而可求a_n
（2）由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=

n

3

可得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=

n-1

3

（n≥2），兩式相減可求anbn=

n

3

-

n-1

3

=

1

3

，將an=

1

2n-1

代入可求

解答：解：（1）因為a₁=1，an+1=

an

2an+1

所以

1

an+1

=

1+2an

an

=

1

an

+2
從而

1

an+1

-

1

an

=2，所以數(shù)列{

1

an

}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列
所以

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，從而an=

1

2n-1

（2）由題知a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=

n

3

所以a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=

n-1

3

（n≥2）
當(dāng)n≥2時，兩式相減可得：anbn=

n

3

-

n-1

3

=

1

3

，將an=

1

2n-1

代入得bn=

2n-1

3

又b1=

1

3

適合上式，所以bn=

2n-1

3

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，及遞推公式中“和”與“項”之間的轉(zhuǎn)化，屬于數(shù)列知識的簡單應(yīng)用．