Question

20．已知[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如：[3]=3，[2.3]=2，[-1.7]=-2，則方程[log₂x]+1=[2^sinx]的解為1≤x＜2且x$≠\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)[x]的定義結(jié)合三角函數(shù)的取值范圍以及指數(shù)冪的范圍分別進(jìn)行討論即可．

解答 解：∵-1≤sinx≤1，
∴$\frac{1}{2}$≤2^sinx≤2，
若-1≤sinx＜0，
則$\frac{1}{2}$≤2^sinx＜1，則[2^sinx]=0，
此時(shí)由[log₂x]+1=[2^sinx]得[log₂x]=[2^sinx]-1=0-1=-1，
則-1≤log₂x＜0，
即$\frac{1}{2}$≤x＜1，此時(shí)不滿(mǎn)足-1≤sinx＜0，
若0≤sinx＜1，1≤2^sinx＜2，則[2^sinx]=1，
此時(shí)由[log₂x]+1=[2^sinx]得[log₂x]=[2^sinx]-1=1-1=0，
則0≤log₂x＜1，即1≤x＜2，
∵0≤sinx＜1，
∴1≤x＜2且x$≠\frac{π}{2}$
若sinx=1，2^sinx=2，則[2^sinx]=2，
此時(shí)由[log₂x]+1=[2^sinx]得[log₂x]=[2^sinx]-1=2-1=1，
則1≤log₂x＜2，即2≤x＜4，此時(shí)無(wú)解，
綜上方程的解為1≤x＜2且x$≠\frac{π}{2}$，
故答案為：1≤x＜2且x$≠\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題，利用[x]的定義，結(jié)合分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．