Question

【題目】如圖：橢圓的頂點為,左右焦點分別為，，

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，試探究在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在求出點的坐標，若不存在請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）；（2）在軸上存在定點，使得為定值

【解析】

（1）根據(jù)，和可構(gòu)造出關于的方程組，求解可得標準方程；（2）當直線斜率不為時，設，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，列出，代入韋達定理的結(jié)果可整理出，根據(jù)可求得和的值；當直線斜率為時，可知所求的依然滿足是上面所求的值，從而可得結(jié)果.

（1）由知：……①

由知：，即……②

又……③

由①②③得：，

所求方程為：

（2）①當直線的斜率不為時

設，，，直線的方程為

由得：

由，得：，故此時點，

②當直線的斜率為時，

綜上所述：在軸上存在定點，使得為定值