Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+2（a-2）x-4alnx（a＜0），其中e為自然數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性并求極值；
（Ⅱ）若對任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，都有f（x₂）-f（x₁）＞2a（x₂-x₁），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，分解因式，對a討論，當(dāng)a=-2時，當(dāng)-2＜a＜0，當(dāng)a＜-2時，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值；
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化f（x₂）-f（x₁）＞2a（x₂-x₁）為f（x₂）-2ax₂＞f（x₁）-2ax₁，構(gòu)造h（x）=f（x）-2ax，證明h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增即可，得到函數(shù)的最值，然后求解a的范圍，

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+2（a-2）x-4alnx（a＜0）的定義域為（0，+∞），
導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+2（a-2）-$\frac{4a}{x}$=$\frac{2（x+a）（x-2）}{x}$，
當(dāng)-2＜a＜0，即0＜-a＜2時，由f′（x）＞0可得x＞2或0＜x＜-a，由f′（x）＜0可得-a＜x＜2，
f（x）的極大值為f（-a）=4a-a²-4aln（-a），f（x）的極小值為f（2）=4a-8-4aln2，
當(dāng)a=-2時，f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在（0，+∞）遞增，無極值；
當(dāng)a＜-2，即2＜-a，由f′（x）＞0可得x＞-a或0＜x＜2，由f′（x）＜0可得2＜x＜-a，
f（x）的極小值為f（-a）=4a-a²-4aln（-a），f（x）的極大值為f（2）=4a-8-4aln2，
綜上可得，當(dāng)a=-2時，f（x）在（0，+∞）遞增，無極值；
當(dāng)-2＜a＜0，f（x）的增區(qū)間為（2，+∞），（0，-a），減區(qū)間為（-a，2），
f（x）的極大值為4a-a²-4aln（-a），f（x）的極小值為4a-8-4aln2；
當(dāng)a＜-2時，f（x）的增區(qū)間為（-a，+∞），（0，2），減區(qū)間為（2，-a），
f（x）的極小值為4a-a²-4aln（-a），f（x）的極大值為4a-8-4aln2；
（Ⅱ）由 f（x₂）-f（x₁）＞2a（x₂-x₁），
可得f（x₂）-2ax₂＞f（x₁）-2ax₁
令h（x）=f（x）-2ax，只需證h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增即可，
h（x）=f（x）-2ax=x²+2（a-2）x-4alnx-2ax=x²-4x-4alnx，
h′（x）=2x-4-$\frac{4a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-4x-4a}{x}$，
只需說明h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立即可，
即4a≤2x²-4x，即為a≤$\frac{1}{2}$x²+x=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{1}{2}$，
故a≤-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，同時考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用參數(shù)分離和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．