Question

設(shè)正整數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,且S_n=(a_n+),猜想出a_n,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

Answer 1

思路分析:觀察、歸納、猜想、證明是經(jīng)常應(yīng)用的綜合性數(shù)學(xué)方法.其中,觀察規(guī)律是解決問(wèn)題的前提條件.需要運(yùn)用不完全歸納法合理地試驗(yàn)和整理,提出合理的猜想,最好再多檢驗(yàn)一個(gè),以達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

解:n=1時(shí),a₁=S₁=(a₁+),∴a₁²=1,又∵a_n＞0,∴a₁=1.

n=2時(shí),S₂= (a₂+)=a₁+a₂,

∴a₂²+2a₂-1=0.

又∵a_n＞0,

∴a₂=-1.

n=3時(shí),S₃=(a₃+)=a₁+a₂+a₃,

∴a₃²+a₃-1=0.又∵a_n＞0,

∴a₃=.

規(guī)律已基本形成,由此猜想

a_n=.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

(1)當(dāng)n=1時(shí),a₁==1,命題成立.

(2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即a_k=,

則當(dāng)n=k+1時(shí),a_k+1=S_k+1-S_k=(a_k+1+)-(a_k+)

=(a_k+1+)-(+)

=(a_k+1+)-.

∴a_k+1²+-1=0.

又∵a_n＞0,∴a_k+1=-,則n=k+1時(shí),命題也成立.

由(1)(2)知對(duì)一切正整數(shù)n,命題均成立.