Question

已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）求的極值；

（2）若，使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)于，求證：．

 

Answer 1

【答案】

(1)當(dāng)時(shí)，沒有極值；

當(dāng)時(shí)，存在極大值，且當(dāng)時(shí)，.

(2).

(3)見解析.

【解析】

試題分析：(1) 首先確定函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求導(dǎo)數(shù)．為確定函數(shù)的極值，應(yīng)討論，的不同情況.

(2) 首先求出，將問題轉(zhuǎn)化成，使得成立，

引入，將問題可轉(zhuǎn)化為：

利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，得解.

(3)當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，即，

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，得到.

方法比較明確，分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，是解決問題的關(guān)鍵.

試題解析：(1) 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，．

當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，沒有極值； 1分

當(dāng)時(shí)，，

若時(shí)，；若時(shí)，

存在極大值，且當(dāng)時(shí)，

綜上可知：當(dāng)時(shí)，沒有極值；當(dāng)時(shí)，存在極大值，且當(dāng)時(shí)， 4分

(2) 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，

，， 5分

，使得不等式成立，

，使得成立，

令，則問題可轉(zhuǎn)化為：

對(duì)于，，由于，

當(dāng)時(shí)，，，，

，從而在上為減函數(shù)，

9分

(3)當(dāng)時(shí)，，令，則，

，且在上為增函數(shù)

設(shè)的根為，則，即

當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，

，，

由于在上為增函數(shù)，

14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式.