Question

1．已知實數a，b滿足ln（b+1）+a-3b=0，實數c，d滿足$2d-c+\sqrt{5}=0$，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為1．

Answer 1

分析 （a-c）²+（b-d）²的幾何意義是點（b，a）到點（d，c）的距離的平方，而點（b，a）在曲線y=3x-ln（x+1）上，點（d，c）在直線y=2x+$\sqrt{5}$上．故（a-c）²+（b-d）²的最小值就是曲線上與直線y=2x+$\sqrt{5}$平行的切線到該直線的距離的平方．利用導數求出曲線上斜率為2的切線方程，再利用兩平行直線的距離公式即可求出最小值．

解答 解：由ln（b+1）+a-3b=0，得a=3b-ln（b+1），則點（b，a）是曲線y=3x-ln（x+1）上的任意一點，
由2d-c+$\sqrt{5}$=0，得c=2d+$\sqrt{5}$，則點（d，c）是直線y=2x+$\sqrt{5}$上的任意一點，
因為（a-c）²+（b-d）²表示點（b，a）到點（d，c）的距離的平方，即曲線上的一點與直線上一點的距離的平方，
所以（a-c）²+（b-d）²的最小值就是曲線上的點到直線距離的最小值的平方，即曲線上與直線y=2x+$\sqrt{5}$平行的切線到該直線的距離的平方．
y'=$\frac{3x+2}{x+1}$，令y'=2，得x=0，此時y=0，即過原點的切線方程為y=2x，
則曲線上的點到直線距離的最小值的平方$5rlwmpy^{2}=（\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4+1}}）^{2}$=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了導數的幾何意義和兩平行線之間的距離公式，關鍵是弄清所要求表達式的幾何意義以及構造曲線和直線，屬于中檔題．