Question

為了更好的了解某校高三學生期中考試的數(shù)學成績情況，從所有高三學生中抽取40名學生，將他們的數(shù)學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）若該校高三年級有1800人，試估計這次考試的數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)及60分以上的學生的平均分；
（2）若從[40，50）與[90，100]這兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取兩名學生，求這兩名學生成績之差的絕對值不大于10的概率．

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,頻率分布直方圖,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)圖中所有小矩形的面積之和等于1建立關于a的等式，解之即可求出所求；根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率，然后根據(jù)頻數(shù)=頻率×總數(shù)可求出所求；
（2）成績在[40，50）分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)，以及成績在[90，100]分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)，列出所有的基本事件，以及兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．

解答： 解：（1）解：由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，
所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．      
解得a=0.03．       
根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1-10×（0.005+0.01）=0.85．
由于高三年級共有學生1800人，可估計該校高三年級數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)約為1800×0.85=1530人．                         
可估計不低于60分的學生數(shù)學成績的平均分為：65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=66.25．
（2）解：成績在[40，50）分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05=2人，
成績在[90，100]分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1=4人，
若從這6名學生中隨機抽取2人，則總的取法有15種．
如果兩名學生的數(shù)學成績都在[40，50）分數(shù)段內(nèi)或都在[90，100]分數(shù)段內(nèi)，
那么這兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定不大于10．
如果一個成績在[40，50）分數(shù)段內(nèi)，另一個成績在[90，100]分數(shù)段內(nèi)，
那么這兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定大于10．
則所取兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10分的取法數(shù)為7種，
所以所求概率為P(M)=

7

15

．

點評：本題考查由頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)，考查了古典概型的概率計算，是概率統(tǒng)計的基本題型，解答的關鍵是讀懂頻率分布直方圖，應用相關數(shù)據(jù)進行準確計算．